_ 2ГЛАВА#1.МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

      21  _ПОНЯТИЕ ОКРЕСТНОСТИ,БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО,ПРЕДЕЛА,
         _ 2НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ.

      2ОКРЕСТНОСТЬЮ ТОЧКИ Хо 0 называется любой интервал,содержащий
     эту точку.
      2ПРОКОЛОТОЙ ОКРЕСТНОСТЬЮ т.Хо 0 называется окрестность т.Хо,
     из которой выброшена сама точка.
      2ОКРЕСТНОСТЬЮ "+" БЕСКОНЕЧНОСТИ  0называется любой полу-
     бесконечный промежуток вида (а;+  ).
     ОКРЕСТНОСТЬЮ "-" БЕСКОНЕЧНОСТИ  0называется любой полу-
     бесконечный промежуток вида (-  ;b).
      2ОКРЕСТНОСТЬЮ БЕСКОНЕЧНОСТИ 0 называется объединение двух
     любых окрестностей +   и - 2  0 .
     Функция f(х) называется 2 бесконечно малой 0 в окрестности
     т.Хо,если для любого числа  >0 существует проколотая
     окр. т.Хо такая,что для любого числа Х,принадлежащего
     прокол.окр.т.Хо выполняется неравенство іf(х)і< .
                   >0  U    U  => іf(x)і<
     Число 2 А 0 называется 2 пределом 0 ф-ции f(х) в т.Хо,если
     в некоторой прок.окр. этой точки ф-цию f(х) можно
     представить в виде f(х)=А+ (х),где  (х)-бесконечно
     малое в окрестности т.Хо.
                       limf(x)=А

     Ф-ция f(х) называется 2 непрерывной 0 в т.Хо,если в некоторой
     окр.т.Хо эту ф-цию можно представить  в  виде:f(х)=f(х )+ (х),
     где  (х)-б.м. в окр.т.Хо.
     Иными словами,f(х)-непрерывна в т.Хо,если она в этой точке
     имеет предел и он равен значению ф-ции.
      2ТЕОРЕМА: 0Все элементарные ф-ции непрерывны в каждой точке
     области определения.
         2Схема 0:1.ф-я элементарна
              2. определена
              3. непрерывна
              4. предел равен значению ф-ции
              5. значение ф-ции равно 0
              6. можно представить в виде б.м.
      2СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ:
      2Теорема#1: 0Единственная константа,явл-ся б.м.-0
      2Теорема#2: 0Если  (х) и  (х) -б.м. в окр.т.Хо,то их
     сумма тоже б.м. в этой окр.
     Ф-ция f(х) называется 2 ограниченной 0 в окр.т.Хо,если сущ.
     проколотая окр.т.Хо и сущ. число М>0,такие что іf(х)і<М
     в каждой точке прок.окр.т.Хо.
                  U     M>0: іf(x)і<M x U
      2Теорема#3: 0Если  (х) -б.м. в окр.т.Хо,то она ограничена
     в этой окр.
      2Теорема#4:О произведении б.м. на ограниченную:
     Если ф-ция  (х) -б.м.,а f(х) -ограниченная в окр.т.Хо,то
      (х)*f(х) -б.м. в окр.т.Хо.
      2Теорема#5:О промежуточной б.м.:
     Если  (х) и  (х) -б.м. в окр.т.Хо и  (х)< (х)< (х)

                            - 2 -
     в окр.т.Хо U ,то  (х) -б.м. в окр.т.Хо.
     Две б.м. называются 2 сравнимыми 0,если существует предел их
     отношения.
     Б.м.  (х) и  (х) в окр.т.Хо называются 2 одного порядка 0,
     если предел их отношений есть число не равное 0.
     Две б.м. в окр.т.Хо называются 2 эквивалентными 0,если
     предел их отношения равен 1.
      2Теорема#1: 0Если   и   -эквивалентные б.м.,то их разность
     есть б.м. более высокого порядка,чем   и чем   .
      2Теорема#2: 0Если разность двух б.м. есть б.м. более высокого
     порядка,чем   и чем   ,то   и   есть эквивалентные б.м.
      2Таблица основных эквивалентов б.м.:
     Х0
     sinх  х
     е-1  х
     ln(1+х)  х
     (1+х) -1   х
      2Асимптотические представления:
     Х0
     sinx=x+0(x)
     e =1+x+0(x)
     ln(1+x)=х+0(x)
     (1+x) =1+ x+0(x)
      2Св-во экв.б.м.:
     Если 2  0 (х) и 2  0 (х) -экв.б.м. в окр.т.Хо,а 2  0 (х) и 2  0 (х) -экв.б.м.
     в окр.т.Хо и сущ. lim    =А,то тогда сущ. lim    и он равен А.

      22  _БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА.

     Если  (х) и  (х) -б.м. в окр.т.Хо и lim   =0,то  (х)
     называется  2бесконечно  малой  более  высокого порядка, 0чем
      (х).   (х)=о( (х)).
      2Замечание: 0Если  (х)-более высокого порядка,чем  (х),
     то  (х)=о(k (х)),k=0
      2Теорема БЕЗУ: 0Если  -корень многочлена,то многночлен
     делится без остатка на (х- ).

      23  _ОСНОВНЫЕ СВ-ВА Ф-ЦИЙ,ИМЕЮЩИХ ПРЕДЕЛ.

      2ЛЕММА об оценке ф-ции,имеющей предел отличный от нуля:
     Если предел ф-ции f(х) в т.Хо равен А и А>0,то
     А/2<f(х)<3А/2 в некоторой проколотой окр.т.Хо.
      2Замечание: 0Если предел А<0,то 3А/2<f(х)<А/2.
      2ТЕОРЕМА#1.Необходимое условие ограничиности ф-ции,
                2имеющей предел:
     Если ф-ция f(х) имеет в точке предел,то она ограничена
     в окрестности этой точки.
      2ТЕОРЕМА#2.Арифметические операции над ф-циями,
                2имеющих предел.
     Если f(х) и f(х) имеют предел в т.Хо:
                      lim f(х)=А

                      lim f(х)=B,то

     тогда 1.сущ.предел их суммы и он равен сумме пределов.
           2.сущ.предел их произведения и он равен
             произведению пределов.
           3.если В=0,то сущ.предел отношения и он равен
             отношению пределов.

                            - 3 -
      2ТЕОРЕМЫ,СВЯЗАННЫЕ С НЕРАВЕНСТВАМИ:
        2Т.1: 0Если ф-ция f(х),имеющая предел в т.Хо,больше 0,
           то f(х)>0 в прокол.окр.т.Хо.
           Наоборот,если f(х),имеющая предел в т.Хо,меньше 0,
           то f(х)<0 в прокол.окр.т.Хо.
        2Т.2: 0Если ф-ция f(х) имеет предел в т.Хо и f(х)>0 в
           некоторой прокол.окр.т.Хо,то и предел f(х)>0 в т.Хо.
        2Т.3: 0Если ф-ции f(х) и f(х) имеют предел в т.Хо:
                        lim f(х)=А

                        lim f(х)=В и

           f(х)<f(х) в некоторой прокол.окр.т.Хо,то и
           пределы А<В.
        2Т.4 о пределе промежуточной ф-ции:
           Если ф-ции f(х) и f(х) имеют один и тот же предел
           А в т.Хо и ф-ция f(х)<f(х)<f(х) в некоторой прокол.
           окр.т.Хо,то тогда сущ.предел f(х) и он равен А.
      2ТЕОРЕМА о переходе к пределу под знаком непрерывной
                2ф-ции:
     Если ф-ция f(u) непрерывна в т.Uо,а ф-ция u= (х) имеет
     предел в т.Хо,и предел ф-ции  (х) равен Uо,то тогда
     сложная ф-ция f[ (х)] имеет предел в т.Хо и этот предел
     равен f(Uо),т.е. предел f[ (х)] равен значению ф-ции
     от предела  .f[ (х)]=flim (х).

      24  _О ПРЕДЕЛАХ СВЯЗАННЫХ С ЧИСЛОМ e.

      2ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ 0 называется ф-ция,область
     определения которой -натуральные числа.
     Формула 2 НЬЮТОНА-бинома:
                            2(a+b)=  с a b
      2c=n!/k!(n-k)!
      2c 0  2- 0кол-во сочетаний из n по k.
      2n!=1*2*3*...*n
      2СОЧЕТАНИЯМИ 0 называются всевозможные подмножества данного
     множества,в частности рассматривают сочетания множества
     из n-элементов по k-элементов.
      2Замечание: 0!=1
      2Таблица биномиальных коэффициентов:
      2n=1           1   1
      2n=2         1   2   1
      2n=3       1   3   3   1
      2n=4     1   4   6   4   1
      2n=5    1  5   10  10  5  1
      2n=6   1  6  15  20  15  6  1

     lim(1+x) =e

      25 _ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ Ф-ЦИИ.ПОВЕДЕНИЕ Ф-ЦИИ В
        _ 2БЕСКОНЕЧНОСТИ.АСИМТОТЫ.
     Ф-ция f(х) называется 2 бесконечно большой 0 в окр.т.Хо,если
     1/f(х) будет б.м.
      _ 2Асимтоты:
     Прямая Т называется 2 асимтотой 0 кривой L,если растояние от
     т.М,лежащей на кривой L,до прямой Т стремится к 0,когда

                            - 4 -
     т.М по кривой удаляется в бесконечность,т.е. когда
     растояние от  т.М до фиксированной т.О стремится в беско-
     нечность.
      _ 2Асимтоты графиков ф-ции:
      2Теорема#1: 0Для того,чтобы прямая kx+b была асимтотой при
     х+ ,необходимо и достаточно,чтобы f(х)=kx+b+ (х) при
     х+ .
      2Теорема#2: 0Для того,чтобы прямая y=kx+b была ас-той гр-ка
     ф-ции f(х) при х+ ,необходимо и достаточно существование
     предела при х+  f(х)/х=k и сущ.предела при х+
     [f(х)-kx]=b,т.е.,если хотя бы один из пределов не сущ.,то
     ас-ты нет.
      _ 2Исследование поведения ф-ции в окр.точки
      _ 2разрыва.Классификация точек разрыва:
      20:ТОЧКА УСТРАНИМОГО РАЗРЫВА- 0точка, в которой ф-ция имеет
     предел,но не является непрерывной.
      21:ТОЧКА РАЗРЫВА ПЕРВОГО РОДА- 0точка,в которой ф-ция имеет
     предел слева,имеет предел справа, но эти пределы не равны.
      22:ТОЧКА РАЗРЫВА ВТОРОГО РОДА 0-точка,которая не является
     точкой устранимого разрыва и точкой разрыва первого рода.

      26 _ ЛОКАЛЬНЫЕ И ГЛОБАЛЬНЫЕ СВ-ВА НЕПРЕРЫВНЫХ Ф-ЦИЙ.

      2ЛОКАЛЬНЫЕ СВ-ВА 0-св-ва ф-ции непрерывных в данной точке,
     т.к. непрер.ф-ция имеет предел,то все св-ва таких ф-ций,
     имеющих предел,распространяются на непрерывные.
      2Свойства: 0если f(х) непрер.в т.Хо и f(Хо)>0,то ф-я больше
     нуля в некоторой окр.т.Хо или;если f(х) и f(х) непрер.
     в т.Хо,то их сумма тоже непрер.в этой точке.
      2ГЛОБАЛЬНЫЕ СВ-ВА:
     Ф-ция f(х) называется 2 непрерывной на отр.[a;b] 0,если она
     непрерыв.в каждой точке интервала (a;b) и непрерывна в
     т.А справа и в т.В слева.
                    lim f(x)=f(a),lim f(x)=f(b)

      2ТЕОРЕМЫ КОШИ:
      2Теорема#1: 0Если ф-ция f(х) непр. на отр.[a;b] и на концах
     отрезка принимает значения разных знаков (f(а)*f(b)<0),
     то сущ.точка С на отр.[a;b],такая что f(С)=0.
      2Теорема#2: 0Если ф-ция непр. на отр.[a;b] и на концах отр.
     принимает разные значения (f(a)=f(b)),то тогда для любого
     числа Q,лежащего между f(а) и f(b),сущ.т.С,принадлеж.отр.
     [a;b],такая что f(С)=Q.

      2ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА:
      2Теорема#1: 0Если ф-ция f(х) непр. на отр.[a;b],то сущ.
     числа m<f(x)<M в каждой точке этого отрезка (т.е.ф-я
     ограничена)
      2Теорема#2: 0Если ф-ция f(х) непр.на отр.[a;b],то сущ.
     точки x и x  [a;b],такие что f(x )<f(x)<f(x ) в каждой
     точке этого отрезка.

 _ 2ГЛАВА#2:ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

      21. _ПОНЯТИЕ  ВЕКТОРА.ЛИНЕЙНЫЕ  ОПЕРАЦИИ  НАД  ВЕКТОРАМИ И . 0  _ 2СВ-ВА.


                            - 5 -
     Отрезок AB называется  2направленным 0,если указана,какая из
     точек A и B явл.началом,а какая концом.
     Два направленных отрезка называются  2равными 0,если они лежат
     на одной или на параллельных прямых,со-направлены и имеют
     одинаковые длины,т.е.если один получается из другого  парал.
     переносом.
      2Вектором 0 называется направленный отрезок.
     Векторы называются  2коллинеарными 0,если они лежат на одной прямой
     или на парал. прямых.
     Векторы называются  2компланарными 0,если они лежат в одной или
     парал. пл-тях.
      2Суммой векторов a и b  0называется вектор,обозначенный a+b,начало
     которого совпадает с началом вектора a,а конец -с концом b,
     при условии,что начало вектора b совмещено с концом а.
      2Произведением а на число    0называется вектор,обозначенный
      а,такой что:
                  1.і aі=і і*іaі
                     a=0,если  =0
                  2. аііа
                     аііа,если  >0
                     аііа,если  <0
      2СВ-ВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ:

      21.Коммутативность:
       Для любых а и b:а+b=b+a
      2замечание: 0отсюда следует,что сумму векторов а и b можно строить
     как диагональ параллелограмма,построенных на векторах а и b,
     причем начало всех трех векторов совмещены.
      22.Ассоциативность:
       Для любых а,b и с:(а+b)+с=а+(b+с)
      2замечание: 0отсюда следует,что чтобы сложить векторы а ,а ,...,а
     нужно сложить из них ломанную,совмещая начало последущего вектора
     с концом предыдущего,тогда их сумма -замыкающая.
     3.Существует вектор,называемый  2нуль-вектор 0,такой что для всех а:
       а+0=а.
     4.Для любого а сущ.вектор,называемый  2противоположным 0,обознач.-а,
     такой что а+(-а)=0
     5.Для всех а:1*а=а
     6.Для любого а и любых чисел   и   :( * )*а= ( а)= ( а)
     7.Для любого а и любых чисел   и   :( + )*а= а+ а
     8.Для любых а и b и любого числа  : *(а+b)= а+ b
      2Разностью векторов а и b 0 называется вектор (а+(-b))
     Если даны векторы а ,а ,...,а  и числа   ,  ,...,  ,то вектор
       а +  а +...+  а  -называется  2линейной комбинацией векторов
     а ,а ,...,а  с коэффициентами   ,  ,...,  .
     Множество,для элементов которого определены операции (сложения
     и умножения на число),для которых справедливы выше восемь св-в
     (аксиом) называется  2линейным пространством.

      22. _Понятие линейной зависимости,размерности,базиса и координации.


                            - 6 -
     Система векторов а ,а ,...,а  называется  2линейно зависимой 0,если
     хотя бы один из векторов этой системы есть линейная комбинация
     остальных векторов этой системы.
       ИЛИ
     Для того,чтобы система векторов а ,а ,...,а  была  2линейно  зависи-
      2мой 0 необходимо и достаточно,чтобы существовали числа   ,  ,...,  ,
     не равные 0,такие что линейная комбинация   а +  а +...+  а
     равнялась нуль-вектору.
     Система векторов называется  2линейно не зависимой 0,если она не  яв-
     ляется линейно зависимой,т.е.  ни один вектор этой системы не яв-
     ляется линейной комбинацией остальных и равенство 0 линейной ком-
     бинации векторов этой системы возможно только в том случае,когда
     все коэффициенты равны 0.
      2Размерностью линейного пространства 0 называется максимальное число
     линейно не зависимых векторов.
      2Базисом  0называется  линейно  независимая  система  векторов,такая,
     при которой любой вектор,принадлежащий этому пространству,может
     быть выражен в виде линейной комбинации векторов этой системы.
      2Теорема единственности:
     Если задан базис е ,е ,е ,то разложение любого вектора а по этому
     базису единственно:
                        а=  е +  е +  е
     Если дан  базис  е ,е ,е ,то коэффициенты разложения вектора по
     этому базису называются 2 координатами 0.
                        а=(  ,  ,  )
      2замечание: 0у одного и того же вектора в разных базисах разные
     координаты.
      2Условие коллинеарности:
                              /  =  /  =  /
      2замечание: 0если в одной из дробей в знаменателе 0,то равенство
     нужно понимать так,что в числителе тоже 0.
      2Каноническое ур-е прямой:
                       x x /m=y-y /p=z-z /q

      23. _ПОНЯТИЯ ПРОЕКЦИИ  ВЕКТОРА НА ОСЬ,СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
         _ 2СВ-ВА ПРОЕКЦИИ И СКАЛЯР.ПРОИЗВЕДЕНИЯ.ПРИЛОЖЕНИЕ.

      2Углом 0 между двумя векторами (отличными от 0) называется наименьший
     угол между двумя лучами,проведенные из одной точки пространства в
     направлениях этих векторов.
      2Численной проекцией 0 вектора а на вектор b (b=0) называется число
     равное произведению модуля а на cos угла между ними.
                      Пр а=іаі*cos a,b
            2Св-ва: 0     Пр (а+b)=Пр а+Пр b
                      Пр (ka)=kПр а
      2Проекцией вектора на ось 0 называется длина отрезка АВ между
     основаниями перпендикуляров,опущенных из точек А и В на ось.
      2Радиус-вектором 0 точки пространства называется вектор,идущий в эту
     точку из некоторой фиксированной точки,наз. полюсом.
     Скалярным произведением 0 а и b называется число равное произведению
     длин этих векторов на cos угла между ними.

      2CВ-ВА:
     1.условие перпендикулярности векторов: (а,b)=0 <=> а 2_ 0b
     2.коммутативность: (а,b)=(b,а)
     3.билинейность:
                    3.1: (а +а ;b)=(а ,b)+(а ,b)
                         (а,b +b )=(а,b )+(а,b )
                    3.2: ( а,b)=(а, b)= (а,b)
      2Правило: 0Скалярное произведение векторов равно сумме произведений
             соответствующих координат.
                         (а,b)=x x +y y +z z
      2Приложения:

                            - 7 -
     1.іаі= (а,а) = x +y +z ,если а=(x,y,z)
     2.(а,b)=0<=>а 2_ 0b
     3.cos а,b=(а,b)/іаііbі
     4.Пр а=(а,b)/іbі

      2Направляющими косинусами углов 0 называются cos углов,которые
     вектор образует с векторами базиса i,j,k.
                          cos  =x/іaі
                          cos  =y/іaі
                          cos  =z/іaі

     cos  +cos  +cos  =1,т.к. (x +y +z )/іaі=1.

     4. _ 2ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВ-ВА.
      2Матрицей порядка m*n 0 называется прямоугольная таблица чисел,
     содержащая m строк и n столбцов.
      2Квадратной матрицей n-порядка 0 называется матрица,у которой
     число строк равно числу столбцов и равно n.
     Каждой кв.матрице ставится в соответствие число называемое
      2определителем матрицы.
      2Определителем кв.матрицы n-порядка 0 называется число равное
     алгебраической сумме всевозможных произведений n-элементов
     матрицы,взятых по одному из каждой строки и каждого столбца,
     причем перед каждым произведением по определенному правилу
     ставится знак "+" или "-".
      2Алгебраической суммой 0 называется сумма,в которой где-то
     ставится "+",а где-то "-".
     Элементы матрицы,у которых No строки совпадает с No столбца
     образуют 2 главную диагональ матрицы.
     Операция замены строк матрицы ее столбцами с соответствующими
     номерами называется 2 транспортированием, 0а получившаяся матрица-
      2транспортированной.

      2СВ-ВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ:
      21. 0При транспортировании матрицы ее определитель не меняется.
      22. 0Если в матрице поменять местами две строки (столбца),то ее
      определитель умножится на -1.
      23. 0Определитель матрицы равен сумме произведений элементов
      какой-нибудь строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
      24. 0Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы
      умножить на число k, то ее определитель умножится на k.
      25. 0Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы
      представляют собой сумму двух слагаемых,то определитель матрицы
      равен сумме двух определителей.У первого на месте этой строки
      стоят первые слагаемые,а у второго -вторые,а все остальные строки
      у всех трех определителей одинаковы.
      26. 0Определитель матрицы не изменится,если к одной ее строке
      (столбцу) прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).
      27. 0Если элементы одной строки умножить на  соответствующие
       алгебраические дополнения другой строки и сложить,то получится 0.
      28. 0Линейная комбинация адгебраических дополнений элементов какой-
       нибудь строки равна определителю,у которого на месте этой строки
       стоят соответствующие коэффициенты линейной комбинации,а остальные
       строки совпадают со строками данного определителя.

      2Минором 0,соответствующим элементу матрицы а  ,называется определитель
     матрицы,которая получится,если в данной матрице вычеркнуть строку
     и столбец,в которых стоит а  .
      2Алгебраическим дополнением 0 элемента а   называется число равное
                                2А  =М  *(-1)

      2Достаточные признаки
      2равенства нулю
      2определителя:
      21. 0Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы равно
      нулю,то определитель равен 0.
      22. 0Если в матрице есть две одинаковые строки (столбца),то ее
      определитель равен 0.
      23. 0Если матрица содержит две строки,соответствующие элементы
      которой пропорциональны,то ее определитель равен 0.

      2Необходимое и достаточное
      2условие равенства нулю
      2определителя:
     Для того чтобы определитель матрицы был равен 0,необходимо и
     достаточно,чтобы ее строки (столбцы) были линейно зависимы.

      25. _ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ.

      2Тройка некомпланарных векторов a,b,c, 0начало которых совмещены,
     называется 2 правой, 0если кратчайший поворот от вектора а к вектору
     b виден совершающимся против часовой стрелки с конца вектора с.В
     противном случае тройка называется 2 левой.
      2СВ-ВА ориентированных троек векторв:
      21. 0Если a,b,c -правая,то тройки b,c,a и c,a,b будут тоже правыми.
       Такая перестановка называется 2 циклической перестановкой. 0Т.е. при
       цикл.перестановке ориентация тройки не меняется.
      22. 0Если a,b,c -правая,то тройки b,a.c и a,c,b -левые.Т.е.,если
       поменять местами какие-нибудь два вектора,то ориентация тройки
       изменится.
      2Векторным произведением 0 a и b называется вектор с,такой что:
       1.если а и b коллинеарны (аііb),то их векторное произведение
         с=[a,b]=0.
       2.если а и b не коллинеарны,то с=[a,b] перпендикулярен а и _ b,
         т.е.[a,b] _ пл-ти векторов а и b и [a,b] направлен в такую
         сторону,что тройка векторов a,b,[a,b] -правая.Длина векторного
         произведения равна і[a,b]і=іаііbіsin ab=S параллелограмма,
         построенного на векторах а и b.
      2СВ-ВО векторного произведения:
        21. 0[a,b]=0 <=>aііb.
        22.Антикоммутативность:
           [a,b]=[b,a],но [a,b]=-[b,a].
        23.Билинейность:
           3.1:[a +a ,b]=[a ,b]+[a ,b]
               [a,b +b ]=[a,b ]+[a,b ].
           3.2:[ a,b]=[a, b]= [a,b].

                                 іi j kі
                           [a,b]=іx y zі
                                 іx y zі

      2Нормальный вектор 0 -это вектор перпендикулярный пл-ти.
                   Ax+By+Cz+D=0 => n=(A,B,C)

      2Углом между  двумя  пл-тями  0называется угол между их нормальными
     векторами.
      2Углом между  прямой и пл-тью  0называется угол между прямой и ее
     проекцией на пл-ть,sin этого угла   равен cos  ,где   -угол между
     направляющим вектором прямой и нормальным вектором пл-ти.
      2Смешанным произведением векторов 0 a ,b ,c  называется 2  _ 0число .,равное
     скалярному произведению векторного произведения векторов a и b на
     вектор с.
                         ([a,b],c)
      2Геометрический смысл
      2смешанного произведения:
      21. 0Если векторы a,b,c компланарны,то их смешанное произведение
     равно 0.
      22. 0Если векторы a,b,c не компланарны,то  _модуль  .смешанного произведе-
     ния равен объему параллелепипеда,построенного на этих векторах,
     причем смешанное произведение положительно,если тройка a,b,c -пра-
     вая, и отрицательно,если тройка векторв -левая.

      2СВ-ВА смешанного
      2произведения:
      21. 0([a,b],c)=(a,[b,c])
       ([a,b],c) -смешанное произведение a,b,c.
       (a,[b,c]) -смешанное произведение b,c,a.
     Эти смешанные произведения равны,т.к. параллелипипед один и тот же
     и ориентации троек одинаковы (при циклической перестановки ориента-
     ция троек не меняется).
     Это св-во показывает,что квадратные скобки можно не ставить:
                         (a,b,c)=([a,b],c)
      22. 0(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)=(c,a,b)=-(b,a,c)=-(a,c,b)=-(c,b,a)
      23. 0Для того,чтобы a,b,c были компланарными <=> (a,b,c)=0
      24. 0Для того,чтобы a,b,c были линейно зависимыми <=> (a,b,c)=0
      25.Трилинейность:
                  5.1: (a+b,c,d)=(a,c,d)+(b,c,d)
                  5.2: ( a,b,c)=(a, b,c)=(a,b, c)= (a,b,c)
      2Вычисление смешанного
      2произведения:
                  a=(x ,y ,z )
                  b=(x ,y ,z )
                  c=(x ,y ,z )
                            іx y zі
                  ([a,b],c)=іx y zі
                            іx y zі
      26  _ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ.
     
     Прямая на пл-ти -частный случай прямой в пространстве.
     У прямой в пространстве нет понятия нормального вектора.
      2Угловым коэффициентом  0прямой,  не парал-ной оси y называ-
     ется число k,  равное tg угла, на который нужно повернуть
     против часовой  стрелки положительную часть оси х,  чтобы
     она стала парал-ной данной прямой.
                              2tg =(k -k )/1+k k
     Для перпендикулярных прямых: 1+k k=0
     Для параллельных прямых:k =k

 _ 2ГЛАВА#2:ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ.
     
      _ 21 ПОНЯТИЯ ДИФФ. Ф-ЦИИ, ПРОИЗВОДНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛА.
     
     Ф-ция f(х)  называется   2дифференцируемой  0в т.Хо,  если ее
     приращения f(х + х)-f(х ) можно представить в виде
     Q(х ) х+о( х),где о( х) -б.м.,  не зависящая от х,  Q( х)
     -б.м. более высокого порядка, чем  х.
                         Q(х )=lim (f(х + х)-f(х ))/ х
     Этот предел называется  2производной ф-цией в точке   0и  обозначается
     f'(х ).
      2Производной ф-цией f(х)  0в т.Хо называется предел  отноше-
     ния приращения  ф-ции  к  приращению  аргумента х,  когда
     х0.
     (х )'= х
     (a )'=a lna, ((e )'=e )
     (log x)'=1/xlna, ((lnx)'=1/x)
     sin'x=cosx
     cos'x=-sinx
     tg'x=1/cos x
     ctg'x=-1/sin x
     arcsin'x=1/ 1-x
     arccos'x=-1/ 1-x
     arctg'x=1/1+x
     arcctg'x=-1/1+x
     sh'x=chx      (shx=e -e /2)
     ch'x=shx      (chx=e +e /2)
     th'x=1/ch x   (thx=shx/chx)
     cth'x=-1/sh x (cthx=chx/shx)
     
     f(x + x)-f(x )=f'(x ) x+o( x),
     слагаемое f'(x ) x -линейно зависит от  х,  и  если
     f'(х)=0, то это слагаемое б.м. одного порядка с  х.
     Поэтому это слагаемое является главным в этой сумме и оно
     называется 2 дифференциалом ф-ции 0 в т.Хо.
      2Дифференциалом  0дифференцируемой ф-ции в  т.Хо  называется
     главная часть приращения, линейно зависящая от  х.
                          df=f'(x ) x
     Асимтотическое представление:
                                f(x + x)=f(x )+f'(x ) x+o( x)
     f(x + x)=f(x )+df
     
      22 _ ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.
     1. Если ф-ция f(x) тождественна const,  то ее производная
     тождественна 0.
                    (C)'=0
     2. Если ф-ция u(x) и v(x) дифф. в т.Хо, то:
        1) их линейная комбинация дифф. в этой точке и
           ( u+ v)'= u'+ v'
        2) их произведение дифф. в т.Хо и (uv)'=u'v+uv'
                           (uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'
        3) если кроме того v(x )=0, то отношение
                           (u/v)'=u'v-uv'/v
     3. Правило дифф. сложной ф-ции.
        f(u) дифф. в т.Uo, u(x) дифф. в т.Хо, u(x )=u =>
        f(u(x)) -дифф. в т.Хо и (f(u(x)))'=f'(u ) u'(x )